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Technique - Lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff


Ce grand physicien a laissé son nom à l'histoire, il faut dire que sa contribution a été de taille. Nous concernant (nous les radioamateurs) les lois décrites ici ne font pas partie du programme, toutefois elles nous accompagnent en permanence. C'est une raison suffisante pour faire une incursion dans ce domaine.
Vous allez certainement être déroutés par ces notions si vous les abordez pour la première fois. Ne vous laissez pas impressionner, il ne faut qu'un peu de logique et surtout de cohérence pour respecter les règles édictées. Bon courage et pensez que ces fameuses lois vous permettront de résoudre beaucoup de problèmes complexes.
 
Que disent les lois de Kirchhoff ?

Des choses très intuitives que nous connaissons et que voici :
Dans un montage on trouve des mailles et des noeuds. Les noeuds sont les points de croisement des éléments ( au moins 3 composants conducteurs etc.), les mailles sont les boucles formées par les composants et les conducteurs. En image cela donne ceci :


Les mailles sont représentées en rouge
Ce circuit comporte 3 mailles
Nous parlerons de la loi des MAILLES


Les noeuds sont représentées en bleu
Ce circuit comporte 2 noeuds
Nous parlerons de la loi des NOEUDS

Le décor est planté ... Passons aux lois

Loi des Noeuds Loi des Mailles
La somme algébrique des intensités en un point est nulle. La somme algébrique des tensions dans une maille est nulle
On peut exprimer cela en disant que la somme des courants entrant dans un noeud est égale à la somme des courants sortant de ce noeud. 
Idem pour les tensions, (les chutes de tensions aux bornes d'éléments passifs sont négatives et se retranchent à la tension des éléments actifs).
 
Tout cela est peut-être un peu énigmatique, nous allons appliquer nos connaissances à un exemple.
Il est extrêmement important de bien comprendre les notations des polarités pour appliquer les lois de Kirchhoff.

Les courants qui entrent dans le noeuds sont notés positifs, ceux qui en ressortent sont  sont notés négatifs
Le courant entre par le potentiel le plus bas et sort par le potentiel le plus haut. 

Nous pouvons passer à la pratique !

Comme à l'accoutumée, il conviendra d'être méthodique et de respecter les règles énoncées ci-dessus.

1

Voici le schéma de départ, nous connaissons bien ce type de montage et en appliquant la loi d'Ohm, nous pourrions tout aussi bien nous tirer d'affaire.
Ici nous n'avons qu'une seule maille, l'exercice est très simple.

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Maintenant, nous allons indiquer sur le schéma les polarités sur les divers éléments de notre circuit en nous rappelant que nous choisissons un sens totalement arbitraire de circulation du courant.
Le courant entre dans les éléments passifs par le potentiel bas que nous noterons - et sort par le potentiel haut que nous noterons +.
Les éléments actifs (sources de tension/ courant) conservent leurs polarités.

3

Posons les équations. Chaque chute de tension aux bornes de la résistance est identifiée par E.  Nous tournerons dans le sens horaire (c'est arbitraire, nous pouvons faire contraire) en partant du point A.
Il vient :
-E1 - E2 - E3 + U = 0

En tournant dans l'autre sens nous aurions eu :
- U +E3 + E2 + E1

Voici l'équation de la maille. Nous pouvons appliquer la loi d'Ohm en remplaçant E par sa valeur R.I
- R1 I  - R2 I - R3 I + U =0
-15 I - 25 I - 10 I + 100 = 0
-50 I  + 100 = 0
-50 I = - 100
I = -100/-50 =  2 A
 
Quelques précisions vitales :

Cela peut paraître déconcertant de prime abord. L'application de lois de Kirchhoff reposent sur le respect strict de règles.
  • Dans le sens d'examen choisi, quand on aborde un composant par le (-), on ajoute la valeur
  • Dans le sens d'examen choisi, quand on aborde un composant par le (+) on retranche la valeur
  • On fixe arbitrairement le sens de circulation du courant
  • On tourne autour de la maille selon un sens ou l'autre.
Certes ce n'est pas impressionnant car une simple addition suivie d'une division nous aurait fourni exactement le même résultat (et heureusement) sans passer par toutes ces étapes. (addition des résistances dans la maille 15+25+10 = 50 W puis calcul du courant en divisant la tension du générateur 100V par la résistance totale 50 W soit 2A). Cet exercice nous permet de comprendre le positionnement des polarités et d'appréhender la loi des mailles (somme algébrique des tensions nulle sur une maille).

Passons à l'exercice n°2. 
Celui-ci consiste à écrire les équations des mailles pour bien maîtriser le principe.

Voilà le schéma. Nous allons appliquer consciencieusement la règle.

1

Nous fixons arbitrairement un sens de circulation du courant comme l'indique la figure suivante. Partant de ce sens nous plaçons les polarités.

 

2

Le courant entre par un moins dans les éléments passifs et sort par un plus. Pour les sources de courant ou tension, les polarités sont respectées.

3 

Il ne nous reste plus qu'à écrire l'équation de la maille en choisissant de parcourir celle-ci dans un sens ou un autre. Quand nous entrerons dans un composant par le moins, le signe sera positif (suivez bien) et quand nous entrerons par un plus le signe sera négatif.
Ce qui nous donne en supposant que nous partions de la résistance R1 en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre :

-R1 I1 - R3 I2 + U = 0


Nous pratiquons de manière identique pour la maille de droite en tournant dans le sens indiqué par la flèche verte. Précision importe :
Nous avons une résistance (R3) qui est commune aux deux mailles, nous conservons les polarités fixées lors de l'étude de la première maille. Il vient :

- R2 I3 - R4 I3  + R3 I2 = 0


Bon, nous maîtrisons maintenant les éléments de base pour l'application des lois de Kirchhoff. Rappelons la méthode à suivre :
  • Identifier une maille dans le circuit
  • Donner un nom à chaque élément (Résistances, sources etc.)
  • Définir un sens de circulation du courant (arbitrairement).
  • Poser les polarités en vous rappelant  que les sources de tension gardent leurs polarités "naturelles et que, en suivant le sens du courant, vous entrez dans une résistance par le moins et sortez par le +.
  • Choisir un sens d'examen de la maille et écrire l'équation de la maille en tournant dans le sens choisi.

La finalité est de trouver un certain nombre d'équations indépendantes (autant que d'inconnues) et nous utiliserons la loi d'Ohm  (U = RI) pour les chutes de tension dans les résistances.




Et pour finir un problème très classique et que l'on ne pourrait pas résoudre simplement avec la loi d'Ohm :

Voici le schéma. 3 résistances et 3 sources. Nous allons commencer par identifier les mailles, les noeuds, fixer le sens de circulation des courants et poser les polarités ce qui devrait nous donner le schéma suivant. Ces étapes sont indispensables, bien réalisées, l'analyse est ensuite très simple et ce ne sera plus qu'une question de calcul.

Les valeurs :
R1 =  10 W        E1 = 5V
R2 =   5 
W        E2 = 10V
R3 =   5 
W        E3 = 5V

Pour faire cela, nous avons appliqué les principes édictés plus haut. Pour le sens de circulation des courants, il est évident que nous n'avons aucune idée du sens réel, nous postulons qu'il circule comme cela, seul le calcul nous permettra de vérifier notre hypothèse car si le signe du courant est positif, notre hypothèse de départ se vérifie, si le signe est négatif cela signifie que le sens est inversé. Comme vous pouvez également le constater les sources ont leurs polarités normales. D'autre part (répétition, reformulation, la clef du savoir...) pour les éléments passifs, en suivant le sens du courant, quand on entre, le potentiel et plus bas qu'en sortant où il est plus élevé.

Attaquons nous à la première maille :
Nous tournons dans le sens des aiguilles d'une montre et nous partons du point A.

E1 + R1 I1 + R2 I2 - E2 = 0
on peut arranger comme suit 

E1-E2 = -R1 I1 - R2 I2

Et remplacer par les valeurs 

- 5  = -10 I1 - 5 I2
Voici l'équation de la 1ère maille.

Nous tournons dans le sens des aiguilles d'une montre et nous partons du point A.

E2 -R2 I2 + R3 I3 + E3 = 0
on peut arranger comme suit 

E2 + E3  = R2 I2 - R3 I3

Et remplacer par les valeurs 

15 = 5 I2 - 5 I3

Voici l'équation de la 2nde maille.
Passons à la loi des noeuds :
en analysant notre montage, nous voyons que que le courant I1 se scinde en deux courants qui sont I2 et I3 et nous pourrons écrire :
I1 -I2 - I3 = 0 (la loi des noeuds)
ou
I1 = I2 + I3
Pour déterminer la valeur des courants circulant dans ce circuit, nous n'avons plus qu'à résoudre le système de 3 équations à 3 inconnues.
- 5  = -10 I1 - 5 I2
 15 = 5 I2 - 5 I3
 I1 = I2 + I3


La résolution est laborieuse, vos pouvez ici appliquer la méthode vous convenant le mieux (Cramer, substitution etc.) Nous allons maintenant remplacer dans la 1ère équation I1 par son équivalent tiré de la loi des noeuds, à savoir I1 = I2+I3.
 1 - Equation de départ

 -10 I1 - 5 I2 = -5
   5 I2 - 5 I3 = 15
2 - Remplaçons I1 par I2+I3

-10 I2 - 10 I3 - 5 I2 = -5
   5 I2 - 5 I3 = 15
3 - Il vient :

-15 I2 - 10 I3   = -5
   5 I2 - 5 I3      = 15

4 - Multiplions le second terme par 2 et soustrayons

 -15 I2 - 10 I3       = -5
  10  I2 - 10 I3      = 30

5 - Le résultat de la soustraction est :

  -25  I2 = - 35
Soit I2 = -35/-25 = 1,4 A
6 - Il suffit ensuite de remplacer I2 par sa valeur pour déterminer I1 et I3.
I1 = -0,2 A et I3 = -1,6 A
I2 et I3 n'étaient pas positionnés dans le bons sens dans notre hypothèse de départ.

C'est fini, les lois des noeuds et des mailles sont derrière nous. Moment passionnant dans l'étude des circuits.