Tout
le monde les connaît, voyons comment les manipuler sans souci, car
inéluctablement, nous allons en rencontrer dans notre vie de
radioamateur. |
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Qu'est-ce que c'est ?
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Cela ! Ici nous avons pris
une tarte que nous avons coupée en 4 parts égales. La première image
représente la tarte une fois que la première part ait été mangée, il
restait donc à ce moment là 3 quarts de tarte.
Nous avons retiré une nouvelle part, nous voyons bien qu'il ne nous reste
plus que la moitié de notre tarte initiale. Nous pouvons aussi écrire
qu'il nous reste 2 parts sur 4.
Et pour finir car je commence à saturer, nous avons de nouveau retiré une
portion. Il ne reste plus désormais qu'une part sur les quatre initiales,
nous écrivons qu'il reste 1 quart (1/4) de tarte!
Eh bien c'est cela une fraction, rien de plus, rien de moins. Il s'agit
toujours d'une valeur qui est posée sous la forme d'un rapport, d'un
quotient. La partie supérieure est appelée NUMERATEUR,
la partie inférieure DENOMINATEUR
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Mais encore ...
La première des opérations que l'on peut effectuer sur une fraction
consiste à calculer sa valeur. Ce n'est pas indispensable mais cela
éclaire. Pour des raisons de simplicité d'écriture en HTML, nous noterons
les fractions comme suit :
1/4 (lire un quart), ou 1/3 (lire un tiers) ou bien encore 1/2 (lire un demi
mais cela vous le savez depuis que vous fréquentez l'estaminet du coin de
la rue).
Donc, pour calculer la valeur d'une fraction, il suffit de diviser le
numérateur par le dénominateur. (suite à une remarque d'une lectrice, je
précise que les valeurs ont été réduites à deux ou trois décimales
pour les besoins de la démonstration.)

Voici un tableau contenant
quelques valeurs, comme vous pourrez le constater, un demi fait bien 0,5
(litre), ne vous laissez plus avoir au troquet quand on vous sert 0,33 l !!!
Vous pouvez de la sorte calculer toutes les fractions que vous voulez.
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IMPORTANT
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Tout nombre peut s'écrire sous la forme d'une fraction !
Prenons le cas du 8, si nous voulons l'écrire sous forme fractionnaire,
nous écrirons :
8 = 8/1
et effectivement 8 divisé par 1 fait bien 8 ....
Ne riez pas, cela vous sera utile plus tard.
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Calcul sur les fractions :
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Nous allons pouvoir faire
toutes les opérations classiques (+ - / *) sur les fractions, seulement il
y aura quelques subtilités plus particulièrement pour l'addition et la
soustraction. Avant d'en arriver là, il faut connaître quelques
propriétés amusantes des fractions, ne vous laissez pas dérouter car ce
sont des choses que vous savez déjà (parfois de manière intuitive) et que
vous pourrez retrouver facilement, tout seul, sur le papier.
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Les fractions sont
des entités sexuées:
Cela mes amis, vous ne l'avez jamais lu dans aucun livre. Je m'explique.
Nous savons qu'une fraction n'est qu'un nombre (et des nombres il y en a une
infinité). Les nombres, vous le savez depuis les paragraphes précédents,
peuvent être positifs ou négatifs, nous pouvons donc dire que les
fractions peuvent aussi être positives ou négatives, n'est-il pas ?
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Nous retiendrons deux
choses importantes :
En
français dans le texte, si l'un des termes d'une fraction est négatif, la
fraction est négative. Si les deux termes d'une fraction sont négatifs, la
fraction est positive. C'est facile à retenir si vous avez lu le premier
chapitre consacré aux nombre.
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Le produit en croix :
On disait comme cela dans mon temps, cela a peut-être changé. Regardons un
peu ces fractions :
25/5 et 15/3
A priori, rien de remarquable si ce n'est qu'en divisant 25 par 5, on trouve
5 et si l'on fait la même chose avec l'autre (15/3), nous allons également
trouver 5. Damned ! De là à penser que ces deux fractions si dissemblables
sont égales... Eh bien, oui, elles sont égales nos deux fractions. Nous
aurions pu le découvrir sans faire ce calcul de la manière suivante :
En
multipliant 25 par 3, nous trouvons 75. En multipliant 15 par 5, nous
trouvons également 75. Nous venons de faire un produit (multiplication) en
croix comme indiqué sur le schéma ci-contre. Les deux produits étant
identiques, on en conclut que les fractions sont égales. Vous devez
seulement retenir ce qui se trouve dans le pavé encadré. Vous retrouverez
cette relation quand vous étudierez la théorie de l'équilibre des ponts.
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Simplification des fractions :
La simplicité, rien de mieux. A votre avis, est-il préférable de voir
s'étaler sur une feuille blanche la fraction 125/25 ou plutôt
5/1. La seconde est certainement votre réponse. D'une manière générale,
votre intérêt sera toujours de rechercher la simplification des fractions
et nous allons voir comment procéder.
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Nous
pourrons simplifier une fraction quand nous pourrons diviser le numérateur et
le dénominateur par un même nombre. Ceci s'écrira en termes plus
mathématiques comme ceci :
 Remarquez
les décompositions successives.
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Nous allons maintenant entrer dans le vif du
sujet, à savoir les opérations sur les fractions. Il est vital que vous
maîtrisiez bien ces opérations et les règles associées, il n'y a rien de
difficile ici, cela ne vous demandera qu'un peu de rigueur et de travail. Bon
courage.
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La plus simple, la multiplication de
deux quotients:
Règle : Pour multiplier deux
quotients, il faut multiplier les numérateurs entre-eux et les
dénominateurs entre-eux.

Il n'y a absolument aucune subtilité ici, c'est la simplicité
même.
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Multiplication d'un quotient par un
entier :
Règle : Pour
multiplier un quotient par un entier, il faut multiplier le numérateur
seulement par l'entier.

Si vous avez un doute, rappelez-vous qu'un nombre quelconque peut s'écrire
comme une fraction ayant la valeur 1 au dénominateur, ensuite appliquez la
règle de multiplication classique.
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La division de deux
quotients:
Avant d'attaquer la division (et ne soyez pas inquiet, c'est
simple), il est peut-être nécessaire de revenir sur la notion d'inverse.
Nous avions déjà parlé de l'opposé ( -3 et l'opposé de 3 et
réciproquement), l'inverse de "x" est toujours de la forme 1/x.
Donc l'inverse de 4 est 1/4 soit 0,25. D'une manière générale, quand on
parle d'inverse de quelque chose, il suffit de diviser 1 par ce quelque
chose pour l'obtenir.
Règle : Le quotient de
a/b par c/d est le produit de a/b par l'inverse de c/d, l'inverse de
c/d étant d/c.

Notez bien la permutation qui a été
effectuée pour obtenir l'inverse.
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La division d'un quotient par un entier
:
Rien de plus facile, ceci nous ramène aux règles que nous avons
étudiées.

Bien évidemment, on procédera de la même manière s'il s'agit de diviser
un entier par un quotient, la démarche est la même.
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L'addition ou la
soustraction de deux quotients:
Bon, nous y voici, j'ai placé cette étude en fin de manière à
travailler avec un cerveau rodé et bien huilé.
Règle : Pour
additionner ou soustraire des quotients, il faut que leurs dénominateurs
soient égaux. Si tel n'est pas le cas, il faudra préalablement effectuer
l'opération appelée "réduction au même dénominateur". Quand
cette opération sera réalisée, il suffira d'ajouter ou retrancher
entre-eux les numérateurs seulement.
Et en clair cela signifie quoi ?
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Prenons
un cas concret, je souhaite effectuer cette opération, immédiatement je
constate que les dénominateurs ne sont pas égaux (2 est bien différent de
4). Selon la règle énoncée ci-dessus je dois obligatoirement
transformer ces deux quotients de manière à ce qu'ils aient le même
dénominateur. Une fois ceci réalisé je pourrai tranquillement additionner
les numérateurs.
Pour réduire au même dénominateur, nous allons appliquer une technique
bestiale qui, si elle manque de subtilité, vous met à l'abri de tout
souci. Nous allons procéder comme suit : Nous
allons multiplier chaque quotient (en haut et en bas) par le dénominateur
de l'autre quotient. Vous vous souvenez que multiplier en haut et en bas un
quotient par une même valeur ne change pas ce dernier. Nous allons donc
nous retrouver avec un dénominateur commun. Le tour est joué... Il suffit
ensuite d'additionner (ou soustraire) les numérateurs puis d'opérer
d'éventuelles simplifications. Dans notre exemple, on peut aller plus loin
car 26/8 = 13/4. Toujours à partir de cet exemple et avec un peu de
métier, vous vous apercevrez qu'il suffit de multiplier le premier quotient
par 2 pour tomber sur un dénominateur identique. Voilà, ce n'est pas plus
compliqué que cela...
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Exercices pour voir si l'on a bien
compris:
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on
effectue un produit en croix pour le déterminer. Ici les deux produits sont
égaux, les fractions sont donc égales.
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Multiplication d'un quotient par un entier
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Division
d'un quotient par un entier
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Bon
je pense que cela suffit pour aujourd'hui, essayez de faire ces quelques
exercices, nous allons maintenant passer aux puissances. |