Les
puissances et la notation scientifique. Comme d'habitude, rien de
difficile. |
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Comment la bête se présente t-elle ?
Voila l'allure générale avec quelques exemples :
on
lira et on prononcera en partant de la gauche, comme il se doit !
deux puissance deux ou deux au carré, cinq puissance trois ou cinq au cube,
dix puissance 5, a puissance n.
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Mais qu'est-ce que cela veut dire ?
Définition : tout
nombre affecté d'un exposant (la puissance) est un nombre qui se multiplie
par lui même le nombre de fois indiqué par l'exposant
En d'autres termes :
ici nous avons 5 à la puissance 3. Il s'agit donc de multiplier le chiffre 5
trois fois par lui même ce qui donnera 5 x 5 x 5 = 125. Attention à bien
respecter la définition et cette logique.
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Le carré et le cube
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Les plus jeunes d'entre vous y jouent encore... Sur le plan
mathématique, le carré correspond à l'exposant "2"
et le cube à l'exposant "3".
C'est tout.
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Quelques définitions à savoir :
an
= a x a ...n fois |
Pour
mémoire, on vient d'en parler au-dessus |
a0
= 1 |
Tout nombre
non nul à la puissance "0" vaut 1, que ce soit 20
ou 4440
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a1
= a |
Tout nombre à
la puissance "1" vaut ce nombre.
exemple : 101 = 10 21 =
2 1561 = 156
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a-n
= 1/an |
C'est
important. Exemple 5-3 = 1/ 53
a-1
est l'inverse (1/a) de a
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Et les signes dans tout cela ?
Observez le tableau ci-dessous :
(-31) |
(-32) |
(-33) |
(-34) |
(-35) |
(-36) |
-3 |
9 |
-27 |
81 |
- 243 |
729 |
ce dernier donne une suite de valeurs de -3 élevées aux puissances de 1 à
6. On constate qu'à chaque fois que l'exposant est pair, la valeur est
positive et qu'à chaque fois que l'exposant est impair, la valeur est
négative. D'une manière plus générale, on pourra dire qu'un nombre ayant
un exposant pair sera toujours positif alors que le même nombre ayant un
exposant impair conservera son signe.
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Passons aux choses sérieuses :
Ce n'est pas la mer à boire, mais il va falloir bien comprendre et surtout
retenir ce qui suit. Voici quelques propriétés fondamentales. Ici pas
besoin d'être génial, il faut simplement apprendre (et retenir) ce tableau
et naturellement appliquer la bonne propriété le moment venu...
am
x an
= am+n |
exemple
: 22 x 24 = 2 (2+4) = 26
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exemple
:  |
(a
x b)n =
an X bn |
exemple : (2
x 4)3 = 23 x 43
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(an)m
= a n m |
exemple
: (52)3
= 5 2x3
= 56
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(a +
b)n = il faut
d'abord effectuer la somme puis élever le résultats à la puissance.
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exemple :
(2 + 3)2
= 52
= 25 |
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Les puissances de 10 (enfin!) :
C'est un truc génial et pas compliqué qui va nous simplifier la
vie, car les puissances de 10 permettent de "coder" de très
grandes ou au contraire de très petites valeurs très simplement sans avoir
à manipuler une chaîne de "0". Voyons comment cela est organisé :
Petite observation expérimentale :
10 |
1 suivi de
1 zéro |
10 x1 |
101 |
100 |
1 suivi de
2 zéros |
10 x2 |
102 |
1000 |
1 suivi de
3 zéros |
10 x3 |
103 |
10 000 |
1 suivi de
4 zéros |
10 x4 |
104 |
100 000 |
1 suivi de
5 zéros |
10 x5 |
105 |
Les puissances de 10, c'est simple,
observez ce tableau, le nombre 10 est composé d'un 1 et d'un 0 (rien de
nouveau jusqu'ici), il est également égal à 10x1. En écriture dite
"scientifique", nous noterons 101.
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Et pour les valeurs inférieurs à 1
allez-vous me demander...
Ce sera sans surprise, observez le tableau ci-dessous:
0,1 |
10-1 |
0,01 |
10-2 |
0,001 |
10-3 |
0,0001 |
10-4 |
0,00001 |
10-5 |
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Ce dont il faut se souvenir :
Rubrique trucs et astuces, voici comment
effectuer les conversions.
Puissances
positives |
Puissances
négatives |
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On pose 1 et
on le fait suivre de "n" zéros |
On pose 0 et
on le fait suivre de "n" chiffres après la virgule, 1
inclus.
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Ecriture ou notation
scientifique :
Nous venons de voir comment fonctionnaient les puissances de 10 et surtout
leur utilité dès lors qu'il s'agit de manipuler de fortes valeurs
numériques (dans un sens comme dans l'autre d'ailleurs). Si nous
pouvions trouver un système qui nous permette de formuler toutes les
valeurs possibles et imaginables avec un chiffre, une virgule et une
puissance de 10, ce serait bien commode.
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Voici comment procéder :
Supposons que nous souhaitions écrire en
notation scientifique cette valeur : 657.
Nous
allons faire en sorte que ce nombre s'écrive comme le produit d'un nombre
"x" compris entre 1 et 9, une virgule, la suite de chiffres,
par une puissance de 10 qui pourra être
négative ou positive.
Donc pratiquement 657 deviendra en notation
scientifique : 6,57 102. Cet exemple n'est peut-être pas parlant
, voyons celui-ci : 374 000, en notation scientifique 3,74 105..
En pratique, le mode opératoire
:
Nous devons écrire 1596 en notation
scientifique. Il faut :
- placer une virgule de telle manière à
se retrouver avec un seul chiffre devant cette virgule

- compter le nombre de positions dont a
été déplacée cette virgule, ce nombre deviendra l'exposant de la
puissance de 10. (ici 3)
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons
effectué 3 déplacements de la droite vers la gauche. Nous avons simplement
divisé par 1000 notre chiffre initial. Pour lui restituer sa valeur
originelle, il va falloir le multiplier par 1000 ce qui donnera :
1596 = 1,596 103 .
Idem
mais avec un nombre inférieur à 1 :
Nous devons écrire 0,0089
en notation scientifique. Nous appliquons les principes que nous connaissons
à savoir déplacer la virgule de manière à avoir un chiffre
puis la virgule x 10 et un exposant.

Nous avons déplacé la virgule de 3 positions vers la droite (ce qui
revient à multiplier par 1000), nous obtenons 8,9. Il faut multiplier cette
valeur par 10-3 ce qui donne en notation scientifique :
8,9 10-3
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Quelques transformations :
La règle énoncée ci-dessus veut que l'on pose en notation scientifique
tout chiffre sous la forme d'un nombre suivi d'une virgule, de la puissance
de 10 et de l'exposant. Parfait. Mais il y arrive que l'on ai besoin de
déroger et d'effectuer des conversions par commodité ou tout autre raison. Le
principe est simple et vous le connaissez, voyons cela avec quelques
exemples :
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Nous avons par exemple : 1,235
102 nous pouvons tranquillement
transformer ceci en jouant sur la position de la virgule et
conséquemment sur l'exposant comme suit :
0,1235 103
1,235 102
12,35 101
123,5 100
1235 10-1
Bon, vous avez compris le principe...
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Les opérations avec la notations
scientifique :
L'objet, ne l'oublions pas, est de simplifier les calculs et d'éviter de se
trimballer une ribambelle de chiffres. Voyons comment nous pouvons traiter
les opérations usuelles avec la notation scientifique.
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Multiplication |
5.102 x
4.103 = 5 x 4 x
102 x103 =
20.102+3 = 20.105
Simple application de la
formule du 1er tableau. Cliquer
ici pour la revoir
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Division |
8.102 /
2.103 = 4.102-3 =
4.10-1 = 0,4
Remarquez que c'est bcp plus vite
calculé qu'en faisant 800/2000
. Cliquer
ici pour revoir la formule
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Addition |
1,52.102 + 5.103
= Ici mieux vaut convertir au "même exposant" si l'on tient à faire quelque chose de
cohérent. On peut convertir indifféremment un terme ou l'autre.
1,52.102 + 50.102
= 51.52 102
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Soustraction |
Le principe est le même
que pour l'addition.
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Et pour finir :
en fait, il nous reste encore une toute petite notion à aborder sur
les puissance mais je préfère reporter cela au chapitre
"Racines", vous avez assez travaillé pour aujourd'hui, d'autant
qu'il reste les exercices à faire... Bon courage
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Exercices pour voir si l'on a bien
compris:
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Donner la valeur de :
Réponse :
34 =
|
3 x 3 x 3 x 3 = 81
|
1220 =
|
1
|
141 =
|
14
|
6-2 =
|
1 / 62
|
- 52 =
|
25
|
- 53
=
|
- 125
|
- 54
=
|
625
|
32 x 33
=
|
32+3
= 35 =
243
|
24 /
22
=
|
24-2 =
22 =
4
|
(2 x 3)2 =
|
22
x 32
= 4 x 9 = 36
|
(2 +
3)2
=
|
52
= 25 (attention à ne pas faire de
confusion avec l'exemple précédent)
|
(22)3 =
|
2 2x3
= 2 6
= 64
|
102
=
|
100
|
104
=
|
10000
|
100
=
|
1
|
106
=
|
1 000 000
|
10-2
=
|
0,01
|
10-6
=
|
0,000001
|
10-3
=
|
0,001
|
Ecrire
sous forme scientifique :
|
Réponse :
|
1236 =
|
1,236 103
|
0,007 =
|
7 10-3
|
135 000 =
|
1,35 105
|
-549 =
|
- 5,49 102
|
0,000 000 78 =
|
7,8 10-7
|
Calculer :
|
Réponse :
|
5.102 x
4.103 =
|
5 x 4 x 102
x 103
= 20 . 102+3
= 20 105
|
2,3 102 x
2 =
|
4,6 102
|
3 102 x
5 10-3 =
|
3 x 5 x 102-3
= 15 10-1
|
1,2 10-19 x 5 1012 =
|
1,2 x 5 x 10-19+12 =
6 10-7
|
8 104
/ 4 102
|
2 104-2 = 2 102
|
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Long
et laborieux ce chapitre... Un peu de détente avant d'attaquer la suite
ne nous ferait pas de mal. |